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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

4. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
f) $f_{n}=\sqrt{\frac{2 n^{2}-1}{3 n^{2}+2}}+\frac{3 n-1}{2 n+3}$

Respuesta

Calculamos ahora este límite:

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{2 n^{2}-1}{3 n^{2}+2}}+\frac{3 n-1}{2 n+3} $

Acá nada de indeterminaciones "infinito menos infinito" ni multiplicar y dividir por el conjugado eh! jaja este ejercicio tranquilamente podría haber aparecido en el item anterior, son todas indeterminaciones "infinito sobre infinito". Resolvemos cada una sacando factor común "el que manda", lo hago en dos cálculos auxiliares separados:

Cálculo auxiliar 1

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{2 n^{2}-1}{3 n^{2}+2}} = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{n^2(2-\frac{1}{n^2})}{n^2(3+\frac{2}{n^2})}} = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{2-\frac{1}{n^2}}{3+\frac{2}{n^2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}} $

Cálculo auxiliar 2

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{3 n-1}{2 n+3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(3-\frac{1}{n})}{n(2+\frac{3}{n})} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3-\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}} = \frac{3}{2}$ Por lo tanto, el resultado del límite es: $ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{2 n^{2}-1}{3 n^{2}+2}}+\frac{3 n-1}{2 n+3} = \sqrt{\frac{2}{3}} + \frac{3}{2}$
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Avatar Renato 29 de abril 19:09
Buenas noches profe, este ejercicio no podria seguir desarrollandose?

Avatar Flor Profesor 30 de abril 07:45
@Renato Hola Renato! El resultado lo podés dejar tranquilamente así $\sqrt{\frac{2}{3}} + \frac{3}{2}$. Porque de hecho si haces esa cuenta en la calculadora ya te queda un número con un montón de decimales... A lo sumo si querés podrías poner así:

$\sqrt{\frac{2}{3}} + \frac{3}{2} \approx 2.31... $
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